Cómo citar: Vega Reñón, Luis. Introducción a la teoría de la argumentación. Problemas y perspectivas. Lima: Palestra, 2015, pp. 252-257.
Aquiles y la tortuga
Todo el mundo habrá oído hablar de una carrera entre Aquiles, “el de los pies ligeros”, y una tortuga. Fue una ocurrencia de Zenón de Elea para mostrar que la concepción del movimiento como un desplazamiento divisible paso a paso entraña una consecuencia absurda: si el veloz Aquiles concede de salida un tramo de ventaja a la lenta tortuga, nunca llegará a alcanzarla, pues antes de cubrir esa distancia, tendrá que haber cubierto su mitad, y la mitad de esta mitad, y la mitad de la nueva mitad, y así sucesiva e indefinidamente.
En 1895, Lewis Carroll publicó otra versión de propia cosecha: “Lo que la tortuga le dijo a Aquiles”, Ahora se trataba de una carrera en pos de una conclusión en cuyo curso Aquiles, lejos de acercarse a ella, cada vez se distanciaría más.
Asistamos a la parte central de la conversación que tuvo lugar entre los dos personajes:
«¡Esa maravillosa proposición primera de Euclides…! -—murmuró la tortuga como en sueños—. ¿Admira usted a Euclides?— ¡Apasionadamente! [-— respondió Aquiles]. O, al menos, lo admiro en la medida en que se puede admirar un tratado que no se publicará hasta dentro de algunos siglos. Aquiles era un héroe de la guerra de Troya; el tratado de Euclides suele situarse cronológicamente hacia el año 300 A.D.C.
—Bien, en ese caso, tomemos una pequeña parte de la argumentación contenida en esa proposición primera: sólo dos premisas y la conclusión extraída de ellas. Tenga la bondad de anotarlas en su libreta.
Y para referirnos convenientemente a ellas, llamémoslas A, B y Z.
• Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si.
• Los dos lados de este triángulo son iguales a un tercero.
• Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.
Los lectores de Euclides concederán, supongo, que Z se sigue lógicamente de A y B, de modo que todo el que acepte A y B como verdaderas, debe aceptar Z como verdadera, ¿no? — ¡Sin duda! [-aseguró Aquiles.— Y si algún lector no aceptara A y B como verdaderas, supongo que, aun así, podría aceptar la secuencia como válida.— No cabe duda de que podría haber un lector de este tipo. Podría aducir: “Acepto como verdadera la proposición hipotética [condicional] de que si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera; pero no acepto que A y B sean verdaderas”.
Este lector procedería muy sabiamente si abandonara a Euclides y se dedicara al fútbol.— ¿Y no podría haber también otro lector que dijera “Acepto que A y B son verdaderas, pero no acepto la proposición hipotética”? —A buen seguro que sí. También él haría mejor dedicándose al fútbol. — Y ninguno de estos lectores —continuó la tortuga— está hasta ahora lógicamente obligado a aceptar que Z es verdadera, ¿no es así? — Así es —asintió Aquiles. —Bien ahora quiero que me considere a mí como un lector del segundo tipo y que, lógicamente, me obligue a aceptar que Z es verdadera, […]— Así que, debo obligarla a usted a aceptar Z, ¿no es eso? —dijo Aquiles pensativamente—. Y su postura, en este momento, es que acepta A y B, pero no acepta la proposición hipotética… — Llamémosla C —interrumpió la tortuga—… Pero no acepta (C): Si A y B son verdaderas, debe ser verdadera.[…] De modo que he de exigirle que acepte C.— Así lo haré —repuso la tortuga—, tan pronto como usted lo haya apuntado en su libreta.[…] Copie, pues, lo que le dicto: Las cosas que son iguales a una tercera son iguales entre si. Los dos lados de este triángulo son iguales a un tercero, Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera.— Debería usted llamarla D y no Z —dijo Aquiles—. Viene justo a continuación de las otras tres. Si acepta usted A y B y C, debe usted aceptar Z. — ¿Y por qué debo? — Porque se sigue lógicamente de ellas. Si A y B y C san verdaderas, Z debe ser verdadera. Me imagino que no se le ocurrirá discutir esto.— Si A y B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera —repitió pensativa la tortuga—. He aquí otra proposición hipotética, ¿no? Y si yo no soy capaz de ver que es verdadera, puedo aceptar A y B y C y, sin embargo, no aceptar Z, ¿No es cierto que puedo?.
– Es cierto que puede —admitió con franqueza el héroe—, aunque se trataría de una cerrazón de mente fenomenal, |…] Así que debo instarla a que acepte una proposición hipotética más,— Muy bien, Estoy dispuesta a aceptarla tan pronto como usted haya tomado nota de ella. La llamaremos (D): Si A y B y C son verdaderas. Z debe ser verdadera. ¿La ha anotado usted?— ¡Claro que la he anotado! —exclamó Aquiles lleno de alegría mientras guardaba el lápiz en su estuche—, ¡Y por fin hemos llegado a la meta de esta carrera ideal! Ahora que usted acepta A y B y C y D, usted acepta, por supuesto, Z. — ¿La acepto? —preguntó la tortuga con aire de ingenuidad—. Dejémoslas cosas claras. Yo acepto Á y B y € y D, Pero suponga que aún rehúso aceptar Z.— ¡Entonces la Lógica la agarraría a usted por el cuello y la obligaría a hacerlo! replicó triunfalmente Aquiles—. La lógica le diría: “No tiene más remedio, Ahora que ha aceptado A y B y C y D, debe aceptar Z”, No le queda otra opción, como puede ver.— Todo lo que la Lógica tenga a bien decirme merece ser anotado —repuso la tortuga—. Apunte esa proposición en su libreta, por favor, la llamaremos (E): Si A y B y C y D son verdaderas, Z debe ser verdadera. Hasta que yo no haya admitido esto, no tengo por qué admitir Z. De modo que se trata de un paso completamente necesario, ¿lo ve usted? — Lo veo —dijo Aquiles, y en su voz había un tono de desolación».
Aquiles, al fin, empezaba a temerse que la empresa de obligar lógicamente a la tortuga a aceptar Z, por este camino, supondría la mediación sucesiva e indefinida de nuevos condicionales de los que nunca llegaría a desprenderse la conclusión Z.
Esta parábola de Lewis Carroll aparece en el marco de las discusiones en torno a las proposiciones hipotéticas condicionales y los silogismos hipotéticos, compuestos por alguna proposición condicional, y acerca de las nociones involucradas de inferencia e implicación, que mantenían algunos lógicos británicos a finales del S. XIX. La fábula puede parecer tanto una paradoja como una falacia. Sus visos de paradoja consisten en que, por un lado, Z se sigue lógicamente de A y B, mientras que, por otro lado, Z resulta una conclusión inalcanzable. Sus visos de falacia responden al hecho de que Aquiles, inducido por la tortuga, se enreda persiguiendo condicionales por un camino que nunca desembocará en una apódosis aislada y categórica, en la conclusión Z.
Quizás el propio Carroll la considerara una paradoja, pues propuso su resolución en unas aclaraciones dirigidas al editor de Mind la revista que había publicado “Lo que la tortuga le dijo a Aquiles” en abril de 1895. La clave residía, según Carroll, en distinguir entre una formulación hipotética «en primer uso» y una formulación hipotética «en segundo uso»: la primera es una proposición meramente condicional, aunque incluya el término intensional o modal “debe”. ‘si A y B son verdaderas, entonces Z es (debe ser) verdadera; mientras que la segunda es una formal ilativa o consecutiva de expresar una inferencia . Como (dado que) A y B son verdaderas, Z (debe ser) verdadera.
La paradoja se origina al tratar el pasaje de la demostración euclídea, que discurre en los términos consecutivos de segundo uso, como si fuera un caso de formulación hipotética condicional de primer uso. Años más tarde, otro lógico oxoniense, J. Cook Wilson, alérgico a las paradojas, declaraba que la fábula solo encierra una falacia: una confusión de los principios lógicos, bases de la deducción, con los materiales de que
consta una deducción determinada, sus premisas y su conclusión, cometida al convertir el principio que funda la deducción de Z a partir de A y B en una premisa más de la prueba. En 1903, Bertrand Russell dio la solución de lo que a sus ojos solo representaba un problema técnico, punto de vista adoptado luego por la comunidad lógica. La propuesta de Russell envuelve dos distinciones y un principio. De entrada, es preciso distinguir entre, por un lado, las proposiciones que componen una hipotética o condicional, es decir: la prótasis y la apódosis, y, por otro lado, las aserciones o proposiciones objeto de aserción; la aserción de una proposición condicional no entraña la aserción de una cualquiera de sus componentes, de la prótasis o de la apódosis cuando digo “si hoy es martes, mañana será miércoles” no estoy afirmando que hoy sea justamente martes, ni que mañana será por cierto miércoles; en general, al asegurar que se da “si p, entonces q’ no estoy asegurando que se dé ‘p’, ni asegurando que se dé ‘q’—. Por otro lado, también hay que distinguir las proposiciones o aserciones lógicas —incluidas, según Russell, las de implicación: p implica q’—, de las reglas de inferencia o deducción, que establecen relaciones consecutivas entre proposiciones del tipo de p; luego, q”.
El principio consiste en una regla de corte o de «separación» aplicable a las proposiciones implicativas: si la hipótesis o la prótasis de una implicación, pongamos “p’, es verdadera, o da lugar a una aserción verdadera cuando es formulada por sí sola, también puede separarse y aseverarse por sí solo el consecuente o la apódosis de la implicación, digamos “g’. En realidad, se trata de una versión del patrón del Modus Ponens que recibe en este contexto la denominación de “regla de separación”: ‘es verdad que si p, entonces q (p implica q); ahora bien, es verdad que p; luego, es verdad que q. En suma y por lo que concierne a nuestro caso: A y B implican Z; A y B son verdaderas; luego, Z es verdadera.
Llámala atención que todos estos análisis pasen por alto un punto crítico del texto original: lo que está en cuestión no es tanto la verdad de las aserciones en juego como su aceptación y el desafío estriba en obligar a la tortuga o convencerla de que acepte una conclusión. Los análisis del texto, incluido el de su propio autor, parecen suponer que esta referencia pragmática resulta irrelevante: una vez disuelta o resuelta la dificultad que impedía separar o extraer Z de la trama de los condicionales, la lógica obrará por sí misma e impondrá a la tortuga la asunción de esta conclusión. No obstante, supongamos que la tortuga persiste en su actitud de tomar buena nota de lo que le diga la Lógica, sin por ello sentirse obligada a asumir esa conclusión.
Supongamos que la tortuga pone en cuestión el supuesto de que una regla lógica, el Modus Ponens por ejemplo, constituye así mismo una pauta coercitiva que obliga a su ejecución. Imaginemos que la tortuga
arguye en los siguientes términos:
«Aunque yo, en pura Lógica, no pueda aceptar que A y B, y aceptar que A y B implican Z, sin aceptar en consecuencia que Z, puedo lógicamente rehusarme a asumir esta última aserción; esto no me está permitido si soy o he de ser lógica, pero no deja de ser algo lógicamente posible. Lo que quiero decir es que la Lógica no me obliga a ser lógica o a observar un comportamiento lógico por ella misma, por encima y al margen de cualquier otra consideración.»
Uno podría replicar a la tortuga que incurre así en un delito de lesa racionalidad. Pues negarse a asumir una regla lógica equivale a negarse a ser racional: la lógica es un constitutivo necesario e irrenunciable de nuestra racionalidad como agentes discursivos. ¿Esta réplica dejaría sin respuesta a la tortuga? Puede que no: «¿Ve usted? —-redargüiría ella a su vez—. Ese es uno de los puntos que están en cuestión y que entonces tendrá usted que probar, salvo que se refugie en una mera estipulación del significado de “racional”. Aparte de que su réplica solo desplaza el problema, pues también sospecho que la lógica no puede obligarme por sí misma a ser racional» podría añadir nuestra tortuga tortura”, según terminará por motejarla Aquiles en alguna versión española de la fábula de Carroll.
Por otro lado, la tortuga también podría recordarnos lo que ya hemos visto al contemplarla buena argumentación desde una perspectiva lógica: que la convalidación del argumento no es condición suficiente, ni necesaria, de la bondad (o racionalidad) de una argumentación y que, a lo sumo, representa una buena razón para asumir su conclusión, pero no toda la razón ni la única razón. Siendo así en el orden de los criterios, ¿por qué su poder va a ser superior y omnímodo en el orden de las normas?; pero esta sería otra historia.
Apreciado lector, una vez más, dejo en sus manos el curso y el desenlace de la discusión o, si lo prefiere, la tarea de obligar a la tortuga a aceptar el Modus Ponens, con todas sus consecuencias, y forzarla, en definitiva, a entrar en el juego de la lógica.
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